最速降线和屋顶

其实写这篇目的有两个：

• 记录最速降线的证明
• 测试博客中显示公式

前段时间看到问题的是物体沿着什么曲线下滑所需的时间最短（大概是这个意思），看到了最速降线，感觉挺有趣，搜了一下证明。发现还有提到古建筑中的屋顶也有这样的应用（忘了是哪个页面）。

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以下证明都出自：老大中，变分法基础，国防工业出版社，2004

问题描述（等以后再插图）：
A，B两点处于铅直面上不同铅直线的两点，找出一条连接A，B的曲线，使得质点在初速度为零并且仅受重力的情况下，从A点到B点沿着曲线运动所需时间最短。

解 记A点坐标(0,0)，B点坐标$(x_1,y_1)$，连接A，B点的曲线记为
$$y=y(x),(0 \leq x \leq x_1)$$
曲线在两个端点处满足$$y(0)=0,y(x_1)=y_1$$
在曲线上任意一点，由能量守恒定律可得，$$mgh+\frac{1}{2}mv_0^2=mg(h-y)+\frac{1}{2}mv^2$$
解得
\begin{equation}
v=\sqrt{2gy}
\end{equation}
质点在dt时间内所运动的位移ds可以记为$ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx$,所以速度v可以记为
\begin{equation}
v=\frac{ds}{dt}=\sqrt{1+y’^2}\frac{dx}{dt}
\end{equation}
有(1)和(2)，对t积分可以得到质点下降所需的时间T，
\begin{equation}
T=\int_0^{x_1}\frac{\sqrt{1+y’^2}}{\sqrt{2gy}}dx
\end{equation}

note 定理 使最简泛函$J[y(x)]=\int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y’)dx$，取极值且满足固定边界条件$y(x_0)=y_0,y(x_1)=y_1$的极值曲线$y=y(x)$应满足必要条件
\begin{equation}
F_y-\frac{d}{dx}F_{y’}=0
\end{equation}
(4)也称欧拉拉格朗日方程。

对(3)式的泛函求极值曲线，其中$F=\frac{\sqrt{1+y’^2}}{\sqrt{2gy}}$，F不依赖于x，有
$$\frac{d}{dx}(F-y’F_{y’})=F_yy’+F_{y’}y’’-F_{y’}y’’-y’’\frac{d}{dx}F_{y’}=y’(F_y-\frac{d}{dx}F_{y’})=0$$
对x积分，有$F-y’F_{y’}=c_1$,即
$$\frac{\sqrt{1+y’^2}}{\sqrt{2gy}}-\frac{y’^2}{\sqrt{2gy(1+y’^2)}}=c_1$$
令$c=\frac{1}{2gc_1}$，代入可得$y(1+y’^2)=c$

令$y’=\cot\theta$，$y=\frac{c}{2}(1-\cos 2\theta)$

$dx=\frac{dy}{y’}=c(1-\cos 2\theta)d\theta$，有$x=\frac{c}{2}(2\theta-\sin 2\theta)+c_2$

由边界条件，令$c_2=0,t=2\theta$，最降速线可以用参数方程表示：
$$\left\{
\begin{matrix}
x =\frac{c}{2}(t-\sin t) \
y =\frac{c}{2}(1-\cos t)
\end{matrix}
\right.$$

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曲线如图所示，

如果把四条曲线在空间中连接起来，看上去确实很像屋顶。

这图现在只能先画出这样了。。

opoopress用的人好像太少了，以后可能需要换个系统