博彩的赔率

发表于 更新于 分类于 阅读次数： 阅读次数：

最近刚看完塞勒的《“错误”的行为》，里面有一段，大意是如下，于是有了这篇文章的思考。

赛马中人们倾向于投注给历史成绩较差的，因为赔率更高，但是考虑到赔率形成的机制，相对更多的人投注导致了赔率（收益）与概率不匹配。

赔率的形成

本文的核心在于赔率的形成，但是首先考虑的一点是，给定投注情况，赔率如何生成。
假设仅存在两种选择，胜利W和失败F，W的投注数量是M，F的投注数量是N，W的赔率是Z1（即每1元赌注可获得Z1元），F的赔率是Z2，赌场的抽成是t，则满足以下关系：
$$N+M-Z1M=t(N+M)$$
$$M+N-Z2N=t(N+M)$$
给定任何一组投注情况，N和M都可以表示成M=kN，于是
$$Z1=\frac{(1-t)(k+1)}{k}$$
$$Z2=(1-t)(k+1)$$
所以Z1和Z2有恒定的比值Z1/Z2=1/k，结果如下图所示。

博彩的赔率-图1
博彩的赔率-图2

随着W投注的提高，Z1逐渐下降直到趋于1，如果小于1，将不再有投注；Z2额逐步提高。假设胜利的概率为p，相应地失败的概率为1-p，如果投注结果是“理性的”，则
$$Z1p=Z2(1-p)$$
由于p是固定值，Z2/Z1也应当是常数并且等于p/(1-p)，但现实中Z2/Z1将是多变的。按照前述赔率的生成模式，无论比值如何变化，赌场将获取收益t(N+M)，如果假定总投注规模一定，赌场的期望收益都将不变。那么赌徒的期望总收益也不变，但是，如果F投注过度，k取值较小，从而Z2小于“理性”情况，选择F赌徒将是“错误”的，因为其期望收益不如W。

博彩的赔率-图3

如何选择？赔率设置模型的改变

如果这种投注的倾向是常态，赌场的赔率设置是否有改进的空间？假设投注倾向——非理性的部分与Z2和Z1之间的差距有关，用M/N（即k）和p/(1-p)的差异衡量非理性部分。
$$k-p/(1-p)=d(Z2/Z1-1)$$
此时，赌场的期望收益是
$$p(N+M-Z1M)+(1-p)(N+M-Z2N)$$
令Z2/Z1=b,S=N+M于是问题转变为
$$min G(Z1,bZ1)=\fran{Z1(kp+b(1-p))}{1+k}$$
其中，$k=p/(1-p)+d(b-1)$

博彩的赔率-图4
博彩的赔率-图5

初步计算的结果很有趣，Z1越接近1，即取值越小，则G取值越小，b取值越小，即两者收益差越小，则G取值越小，也许说明一个问题，Z1和b的取值必须考虑对总投注S的影响，令$S=s\sqrt(Z1+DZ2)$，其中s,D取大于1，则
$$max H=S(1-G)$$
修改后的结果如下图所示，果然，尽管Z1仍是取1时H取值最大，但H的最大值出现在b取接近4的位置，意味着主要通过Z2的扩大来吸引更多的投注，b的取值实际上还与p有关，当p的取值从0.8扩大到0.9时，极值点上b的取值更大，W的胜率越高，留给Z2提升的空间越大。

博彩的赔率-图6
博彩的赔率-图7
博彩的赔率-图8

附录

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
# coding: utf-8

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def gzdf(t=0.15):
    kx=list(np.arange(0,100,0.5))
    z1list=[]
    z2list=[]
    zplist=[]
    zxlist=[]
    for i in kx:
        ki=i+1
        z1=(1-t)*(ki+1)/ki
        z2=(1-t)*(ki+1)
        if z1<=1:
            break
        z1list.append(z1)
        z2list.append(z2)
        zplist.append(z2/z1)
        zxlist.append(ki)
    zdic={'Z1':z1list,'Z2':z2list,'Z2/Z1':zplist}
    zdf=pd.DataFrame(zdic,index=zxlist)
    return zdf

zdf0=gzdf()
plt.figure(); zdf0.plot().set_title("t=0.15");
zdf1=gzdf(0.1)
plt.figure(); zdf1.plot().set_title("t=0.1");

zdfe1=zdf0['Z1']*0.8
zdfe2=zdf0['Z2']*0.2
zdfe=pd.DataFrame({'Z1*p':zdfe1,'Z2*(1-p)':zdfe2})
plt.figure(); zdfe.plot().set_title("t=0.15,p=0.8");

def genp(ex=0.8,v=0.2):
    nmlist0=list(np.random.normal(ex,v,100))
    nmlist=[]
    for i in nmlist0:
        k=i
        if i>1:
            k=1
        elif i<0:
            k=0
        nmlist.append(k)
    return nmlist


Z1=pd.Series(list(np.arange(1.001,2,0.02)))
b=pd.Series(list(np.arange(1,20,0.2)))
p=0.8
d=1
k=p/(1-p)+d*(b-1)

Gdlist=[]
for i in range(len(k)):
    for j in Z1:
        gij=j*(k[i]*p+b[i]*(1-p))/(1+k[i])
        gdic={'G':gij,'Z1':j,'b':b[i]}
        Gdlist.append(gdic)

Gdf=pd.DataFrame(Gdlist)
G=Gdf['G']
plt.figure();Gdf.plot(x='Z1', y='G').set_title("Z1-G,p=0.8");
plt.figure();Gdf[Gdf['Z1']==1.001].plot(x='b', y='G').set_title("b-G,p=0.8");

Hdlist=[]
for i in range(len(k)):
    for j in Z1:
        gij=j*(k[i]*p+b[i]*(1-p))/(1+k[i])
        hij=500*np.sqrt(j+5*b[i]*j)*(1-gij)
        hdic={'H':hij,'Z1':j,'b':b[i]}
        Hdlist.append(hdic)

Hdf=pd.DataFrame(Hdlist)
plt.figure();Hdf.plot(x='Z1', y='H').set_title("Z1-H,p=0.8,D=4");
plt.figure();Hdf[Hdf['Z1']==1.001].plot(x='b', y='H').set_title("b-H,p=0.8,D=4");

p=0.9
d=1
k=p/(1-p)+d*(b-1)

Hdlist=[]
for i in range(len(k)):
    for j in Z1:
        gij=j*(k[i]*p+b[i]*(1-p))/(1+k[i])
        hij=500*np.sqrt(j+5*b[i]*j)*(1-gij)
        hdic={'H':hij,'Z1':j,'b':b[i]}
        Hdlist.append(hdic)

Hdf=pd.DataFrame(Hdlist)
plt.figure();Hdf[Hdf['Z1']==1.001].plot(x='b', y='H').set_title("b-H,p=0.9,D=4");